Question

【題目】已知二次函數的圖像經過點 ，且滿足，

(1)求的解析式；

(2)已知，求函數在的最大值和最小值；

函數的圖像上是否存在這樣的點，其橫坐標是正整數，縱坐標是一個完全平方數？如果存在，求出這樣的點的坐標；如果不存在，請說明理由

Answer 1

【答案】（1） ； （2）當時，，當，

當，；當，；（3）.

【解析】

（1）由得到函數的對稱軸，所以，再根據函數所過的點得到c=11,進而得到函數表達式；（2）根據函數表達式將絕對值去點，寫成分段形式，討論t的范圍，進而得到最值；設函數的圖像上存在點符合要求其中則，從而，變形為，根據數據43為質數，故可得到結果.

（1）因為二次函數

所以二次函數的對稱軸方程為 ，即 ，所以.

又因為二次函數的圖像經過點

所以，解得，

因此，函數的解析式為.

(2)由（1）知，= ，

所以，當時，，

當，

當，

當，，

如果函數的圖像上存在點符合要求其中

則，從而

即,

注意到43是質數，且，

所以有 ，解得 ,

因此，函數的圖像上存在符合要求的點，它的坐標為.