Question

已知圓的方程為，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)與圓交于、兩點(diǎn)。

(1)若坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線(xiàn)AB的距離為，求直線(xiàn)AB的方程；
(2)當(dāng)△的面積最大時(shí)，求直線(xiàn)AB的斜率；
(3)如圖所示過(guò)點(diǎn)作兩條直線(xiàn)與圓O分別交于R、S,若，且兩角均為正角，試問(wèn)直線(xiàn)RS的斜率是否為定值，并說(shuō)明理由。

Answer 1

（1）直線(xiàn)AB的方程為；
(2) 時(shí)△面積最大,此時(shí)直線(xiàn)AB的斜率為 ；
（3）直線(xiàn)RS的斜率為定值。

試題分析：（1）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)方程為，∵原點(diǎn)到直線(xiàn)AB的距離為，∴則，∴直線(xiàn)AB的方程為   4′
(2)直線(xiàn)AB的方程：代入圓的方程得
由韋達(dá)定理得,
∵   7′
∴當(dāng)時(shí),即時(shí)△面積最大,此時(shí)直線(xiàn)AB的斜率為   10′
（3）設(shè)點(diǎn)，將直線(xiàn)RS的方程，代入圓的方程得


由韋達(dá)定理得①
，則
即(*)，
又∵②
則①②代入(*)式整理得，即，當(dāng)時(shí)，
直線(xiàn)RS過(guò)定點(diǎn)不成立，故直線(xiàn)RS的斜率為定值       16′
（注：若用其他正確的方法請(qǐng)酌情給分）
點(diǎn)評(píng)：中檔題，研究直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，半徑、弦長(zhǎng)一半、圓心到直線(xiàn)的距離所構(gòu)成的“特征三角形”是重點(diǎn)，另外，通過(guò)構(gòu)建方程組，得到一元二次方程后，應(yīng)用韋達(dá)定理，實(shí)現(xiàn)整體代換較為普遍。本題考查知識(shí)覆蓋面廣，對(duì)考生計(jì)算能力、數(shù)形結(jié)合思想有較好考查。