Question

【題目】函數

（Ⅰ）討論的單調性;

（Ⅱ）若有三個零點,求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.

【解析】分析：（Ⅰ）由 ，當導數大于0得函數增區間，當函數小于0得函數減區間，討論，和四種情況即可；

（Ⅱ）由函數單調性可知和不成立，若，則要使有三個零點，必須有成立，若，則要使有三個零點，必須有成立，依次討論求解即可.

詳解：（Ⅰ）

①若，則，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.

②若，則，（僅），單調遞增.

③若，則，當或時，，單調遞增；當時，，單調遞減.

④若，則，當或時，，單調遞增；當時，，單調遞減.

（Ⅱ）法一：①由（Ⅰ）知，當時，至多有兩個零點.

②由（Ⅰ）知，當時，至多有一個零點.

③若，則要使有三個零點，必須有成立，

由，得，這與矛盾，所以不可能有三個零點.

④若，則要使有三個零點，必須有成立，

由，得，由及，得，

.

并且，當時，

，.

綜上，使有三個零點的的取值范圍為.

法二：由，得，

令，則，

當或時，，單調遞減；

當時，，單調遞增；

所以，當時，取得極小值，極小值為，

當時，取得極大值，極大值為；

并且

，.

綜上可知，當時，直線與曲線恰有三個不同的交點.所以，使有三個零點的的取值范圍為.