Question

試判斷下面的證明過程是否是用數學歸納法的證明？若不是，請寫出正確答案.

用數學歸納法證明：

1+4+7+…+（3n-2）=n（3n-1）.

Answer 1

證明：（1）當n=1時，左邊=1，右邊=1,

∴當n=1時命題成立.

（2）假設當n=k時命題成立，即

1+4+7+…+（3k-2）=k（3k-1）.

則當n=k+1時，需證

1+4+7+…+（3k-2）+［3（k+1）-2］=（k+1）（3k+2）.                      （*）

由于左端等式是一個以1為首項，公差為3，項數為k+1的等差數列的前n項和，其和為

（k+1）（1+3k+1）=（k+1）（3k+2）.

∴（*）式成立，即n=k+1時，命題成立.根據（1）（2）可知，對一切n∈N^*，命題成立.

解：以上的證明不是用數學歸納法證明的過程.

在證明當n=k+1時等式成立時，沒有用到當n=k時命題成立的歸納假設，故不符合數學歸納法證題的要求.

第二步正確的證明方法是：

假設當n=k時命題成立，即

1+4+7+…+（3k-2）=k（3k-1），則當n=k+1時，

1+4+7+…+（3k-2）+［3（k+1）-2］=k（3k-1）+（3k+1）=（3k²+5k+2）=（k+1）（3k+2）=（k+1）［3（k+1）-1］

即當n=k+1時，命題成立.