Question

試判斷下面的證明過程是否正確：

用數學歸納法證明：

1＋4＋7＋…3n－2)＝(3n－1)

Answer 1

答案：
解析：

證明：(1)當n＝1時，左邊＝1，右邊＝1 　　∴當n＝1時命題成立． 　　(2)假設當n＝k時命題成立，即 　　1＋4＋7＋…(3k－2)＝(3k－1) 　　則當n＝k＋1時，需證 　　1＋4＋7＋…3k－2)＋[3(k＋1)－2]＝(k＋1)(3k＋2)(*) 　　由于左端等式是一個以1為首項，公差為3，項數為k＋1的等差數列的前n項和，其和為(k＋1)(1＋3k＋1)＝(k＋1)(3k＋2) 　　∴(*)式成立，即n＝k＋1時，命題成立，根據(1)(2)可知，對一切n∈N*，命題成立． 　　解析：以上用數學歸納法證明的過程是錯誤的． 　　在證明當n＝k＋1時等式成立時，沒有用到當n＝k時命題成立的歸納假設，故不符合數學歸納法證題的要求． 　　第二步正確的證明方法是： 　　假設當n＝k時命題成立，即 　　1＋4＋7＋…3k－2)＝(3k－1)，則當 　　n＝k＋1時， 　　1＋4＋7＋…(3k－2)＋[3(k＋1)－2]＝ 　　(3k－1)(3k＋1)＝(3k2＋5k＋2) 　　＝(k＋1)(3k＋2)＝(k＋1)[3(k＋1)－1] 　　即當n＝k＋1時，命題成立．