Question

（2011•奉賢區二模）（理）在空間直角坐標系O-xyz中，滿足條件[x]²+[y]²+[z]²≤1的點（x，y，z）構成的空間區域Ω₂的體積為V₂（[x]，[y]，[z]分別表示不大于x，y，z的最大整數），則V₂=

7

．

Answer 1

分析：根據方程，對于x，y≥0時，求出x，y的整數解，分別對|[x]|=1、0時確定x的范圍，對應的y，z的范圍，求出體積，再求其和．

建立空間直角坐標系O-xyz，是以（0，0，0），（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，1，0），（1，1，1），（1，0，1），（0，1，0）為頂點體積為1的立方體向x軸正負方向、y軸正負方向、z軸正負方向各延伸一個體積為1的立方體，即由這7個立方體組成的圖形，體積為7．

解答：解：滿足條件[x]²+[y]²+[z]²≤1的點（x，y，z）x，y，z≥0時，[x]，[y]，[z]的整解有（0，0，0），（0，0，1），（0，1，0），（1，0，0）（0，-1，0），（0，0，-1），（-1，0，0）
顯然[x]的最大值是1
|[x]|=1時，1≤x＜2，或者-1≤x＜0，|[y]|=0，0≤y＜1，|[z]|=0，0≤z＜1，所圍成的區域是棱長為1的正方體
同理可求|[x]|=0時，0≤x＜1，|[y]|=1或|[z]|=1的體積
V₂=7×1=7
故答案為：7

點評：本題主要考查的點的軌跡的求解，幾何體的體積的求解，考查探究性問題，是創新題，考查分類討論思想，是中檔題．