Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）證明：函數(shù)f（x）在（0，π）上是減函數(shù)；

（2）若， ，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）（﹣∞，0]．

【解析】

（1）求導(dǎo)，結(jié)合基本不等式可得≤0在（0，π）上恒成立，由此即可得證；

（2）當(dāng)m≤0時(shí)，由（1）在上成立；當(dāng)m＞0時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)可推導(dǎo)存在，使得與矛盾，綜合即可得出結(jié)論．

（1）因?yàn)?/span>，

則，當(dāng)且僅當(dāng)sinx＝1時(shí)取等號(hào)，

故函數(shù)在（0，π）上是減函數(shù)；

（2）因?yàn)?/span>，當(dāng)m≤0時(shí)，由（1）知，成立；

當(dāng)m＞0時(shí)，令，＝﹣sinx+1＞0，

∴在上單調(diào)遞增，

∴，即，

∴，

令，

則，

，

令＝2mcos2x﹣x，＝﹣4mcosxsinx﹣1＜0，

∴在上單調(diào)遞減，

則在上遞增，

∵，

∴存在，使得q（t）＝0，即時(shí)，＞＝0，

∴＞0，則在遞增，故，

∴存在，使得與矛盾，

∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為（﹣∞，0]．