Question

如圖，正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱長為1，點M∈AB₁，N∈BC₁，且AM＝BN≠，有以下四個結論：

①AA₁⊥MN；②A₁C₁∥MN；③MN∥平面A₁B₁C₁D₁；④MN與A₁C₁是異面直線．其中正確命題的序號是________．(注：把你認為正確命題的序號都填上)

Answer 1

①③

過N作NP⊥BB₁于點P，連接MP，可證AA₁⊥平面MNP，得AA₁⊥MN，①正確；過M，N分別作MR⊥A₁B₁，NS⊥B₁C₁于點R，S，則當M不是AB₁的中點，N不是BC₁的中點時，直線A₁C₁與直線RS相交；當M，N分別是AB₁，BC₁的中點時，A₁C₁∥RS，所以A₁C₁與MN可以異面，也可以平行，故②④錯誤；由①正確知，AA₁⊥平面MNP，而AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，所以平面MNP∥平面A₁B₁C₁D₁，故③正確．