Question

已知函數f（x）在其定義域上滿足：xf（x）+2af（x）=x+a-1，a＞0．
①函數y=f（x）的圖象是否是中學對稱圖形？若是，請指出其對稱中心（不證明）；
②當f（x）∈[

1

2

，

4

5

]時，求x的取值范圍；
③若f（0）=0，數列{a_n}滿足a₁=1，那么若0＜a_n+1≤f（a_n）正整數N滿足n＞N時，對所有適合上述條件的數列{a_n}，an＜

1

10

恒成立，求最小的N．

Answer 1

分析：①化簡函數y=f（x）的表達式，通過反比例函數判斷函數的圖象是對稱圖形，直接指出其對稱中心；
②通過f（x）∈[

1

2

，

4

5

]，轉化分式不等式與不等式組的形式，然后求x的取值范圍；
③利用f（0）=0，推出a=1，求出函數的表達式，通過0＜a_n+1≤f（a_n）構造bn=

1

an

+1，推出an≤

1

2n-1

，結合an＜

1

10

恒成立，可求n的最小值，即可求最小的N．

解答：解：①∵xf（x）+2af（x）=x+a-1
∴（x+2a）f（x）=x+a-1．若x=-2a時，則a=-1，與a＞0矛盾
∴x≠-2a，∴f（x）=

x+a-1

x+2a

=1-

a+1

x+2a

（x≠-2a）
∴f（x）是中心對稱圖形，對稱中心為（-2a，1）
②∵f（x）∈[

1

2

，

4

5

]，

1

2

≤

x+a-1

x+2a

≤

4

5

⇒

x+a-1 x+2a ≥ 1 2 x+a-1 x+2a ≤ 4 5

⇒

x-2 x+2a ≥0 x-3a-5 x+2a ≤0

又a＞0，所以

x＜-2a或x≥2 -2a＜x≤3a+5

⇒2≤x≤3a+5
③∵f（0）=0，∴a=1，∴f（x）=

x

x+2

由0＜a_n+1≤f（a_n）⇒

1

an+1

≥2×

1

an

+1，即

1

an+1

+1≥2(

1

an

+1)，令bn=

1

an

+1
∴b_n+1≤b_n，又a_n＞0，∴

bn+1

bb

≥2，又a₁=1，∴b₁=2
當n≥2，bn=b1×

b2

b1

×

b3

b2

×…×

bn

bn-1

≥2×2×2×…×2=2n
（或bn≥2bn-1≥22bn-2≥23bn-3≥…≥2n-1b1=2n）
又∵b₁=1也符合，bn≥2n，∴bn≥2n（n∈N^*）
即

1

an

+1≥2n⇒an≤

1

2n-1

，（n∈N^*）
要使a_n＜

1

10

恒成立，只需

1

2n-1

＜

1

10

即2ⁿ＞11．
∴n＞3．
所以N=3

點評：本題考查函數的性質的應用，函數的值域的應用，不等式組的解法，數列與函數的綜合應用，考查分析問題解決問題的能力．