Question

已知函數f（x）在其定義域上滿足xf（x）+2af（x）=x+a-1（a＞0）．
（1）函數y=f（x）的圖象是否是中心對稱圖形？若是，請指出其對稱中心（不證明）；
（2）當f(x)∈[

1

2

，

4

5

]時，求x的取值范圍；
（3）若f（0）=0，數列{a_n}滿足a₁=1，那么：
①若0＜a_n+1≤f（a_n），正整數N滿足n＞N時，對所有適合上述條件的數列{a_n}，an＜

1

10

恒成立，求最小的N；
②若a_n+1=f（a_n），求證：a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1＜

3

7

．

Answer 1

分析：（1）依題意有（x+2a）f（x）=x+a-1．若x=-2a，得a=-1，這與a＞0矛盾，故x≠-2a，所以f(x)=

x+a-1

x+2a

=1-

a+1

x+2a

(x≠-2a)，由此知y=f（x）的圖象是中心對稱圖形，并能求出其對稱中心．
（2）由f(x)∈[

1

2

，

4

5

]，知

x-2 x+2a ≥0 x-3a-5 x+2a ≤0

，由a＞0，能求出x的取值范圍．
（3）①由f（0）=0得a=1，故f(x)=

x

x+2

．由0＜an+1≤

an

an+2

，得

1

an+1

+1≥2(

1

an

+1)．令bn=

1

an

+1，則b_n+1≥2b_n，由此能求推導出滿足題設要求的最小正整數．
②由an=

1

2n-1

，知anan+1=

1

(2n-1)•(2n+1-1)

，a1a2=

1

3

＜

3

7

，a1a2+a2a3=

1

3

+

1

21

=

16

42

＜

3

7

，故當n=1，2時，不等式成立．當n≥2時，由

anan+1

an-1an

=

2n-1-1

2n+1-2

=

1

2

•

2n-1-1

2n-1

＜

1

2

，能夠證明a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1＜

3

7

．

解答：解：（1）依題意有（x+2a）f（x）=x+a-1．
若x=-2a，則x+a-1=-a-1=0，得a=-1，這與a＞0矛盾，
∴x≠-2a，
∴f(x)=

x+a-1

x+2a

=1-

a+1

x+2a

(x≠-2a)，
故y=f（x）的圖象是中心對稱圖形，其對稱中心為點（-2a，1）．
（2）∵f(x)∈[

1

2

，

4

5

]，
∴

x+a-1 x+2a ≥ 1 2 x+a-1 x+2a ≤ 4 5

即

x-2 x+2a ≥0 x-3a-5 x+2a ≤0

又∵a＞0，∴

x＜-2a，或x≥2 -2a＜x≤3a+5

得x∈[2，3a+5]．
（3）①由f（0）=0得a=1，
∴f(x)=

x

x+2

．
由0＜an+1≤

an

an+2

得

1

an+1

≥2×

1

an

+1，
即

1

an+1

+1≥2(

1

an

+1)．
令bn=

1

an

+1，則b_n+1≥2b_n，
又∵a_n＞0，∴b_n＞0，∴

bn+1

bn

≥2．
∵a₁=1，∴b₁=2，
∴當n≥2時，bn=b1×

b2

b1

×

b3

b2

×…×

bn

bn-1

≥

2×2×2×…×2

n個

=2n．
又∵b₁=2也符合b_n≥2ⁿ，
∴b_n≥2ⁿ（n∈N^*），即

1

an

+1≥2n，
得an≤

1

2n-1

(n∈N*)．
要使an＜

1

10

恒成立，
只需

1

2n-1

＜

1

10

，即2ⁿ＞11，
∴n＞3．故滿足題設要求的最小正整數N=3．
②由①知an=

1

2n-1

，
∴anan+1=

1

(2n-1)•(2n+1-1)

，
a1a2=

1

3

＜

3

7

，
a1a2+a2a3=

1

3

+

1

21

=

16

42

＜

3

7

，
∴當n=1，2時，不等式成立．
當n≥2時，
∵

anan+1

an-1an

=

2n-1-1

2n+1-1

＜

1

2

，
∴anan+1＜

1

2

•an-1an＜(

1

2

)2•an-2an-1＜…＜(

1

2

)n-2•a2a3=

1

21

•(

1

2

)n-2，
∴a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1≤

1

3

+

1

21

(

1

20

+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-2

)
=

1

3

+

2

21

(1-

1

2n-1

)＜

1

3

+

2

21

=

18

42

=

3

7

．

點評：本題考查數列和不等式的綜合應用，考查數列的性質和應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對計算能力的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．