Question

（2012•山東）已知雙曲線C₁：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的離心率為2．若拋物線C2：x2=2py(p＞0)的焦點到雙曲線C₁的漸近線的距離為2，則拋物線C₂的方程為（　　）

• A．x2=

  8 3

  3

  y
• B．x²=

  16 3

  3

  y
• C．x²=8y
• D．x²=16y

Answer 1

分析：利用雙曲線的離心率推出a，b的關系，求出拋物線的焦點坐標，通過點到直線的距離求出p，即可得到拋物線的方程．

解答：解：雙曲線C₁：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的離心率為2．
所以

c

a

=2，即：

a2+b2

a2

=4，所以

b2

a2

=3；雙曲線的漸近線方程為：

x

a

-

y

b

=0
拋物線C2：x2=2py(p＞0)的焦點（0，

p

2

）到雙曲線C₁的漸近線的距離為2，
所以2=

| p 2b |

( 1 a )2+( 1 b )2

，因為

b2

a2

=3，所以p=8．
拋物線C₂的方程為x²=16y．
故選D．

點評：本題考查拋物線的簡單性質，點到直線的距離公式，雙曲線的簡單性質，考查計算能力．