Question

【題目】設等差數列的前項和為，已知，且.

（1）求的通項公式.

（2）設，數列的前項和為，求使不等式成立的最小的正整數.

（3）設.若數列單調遞增.

①求的取值范圍.

②若是符合條件的最小正整數，那么中是否存在三項依次成等差數列?若存在，給出的值.若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1)；(2)；(3)不存在，證明見詳解.

【解析】

（1）計算基本量，寫出通項公式；

（2）由（1）中的，求得以及，進而求解不等式即可；

（3）①由，即可求得；②采用反證法，推證矛盾.

（1）設的公差為，因為故：，

又，解得：，故該數列通項公式為：

（2）由，可得：，，

故=

則 =

= =

=

=

若使得其滿足 ，且為正整數，故解得：

，故取使得不等式成立.

（3）由（1）可知=

①因為數列為增數列，故恒成立

等價于：

整理得：，

即：恒成立，又，

故，即.

②由①可知，此時, 故,

假設存在三項依次成等差數列，則

，即： ①

因為，且均為整數，故：

，，

故：，即

②

又因為 ③

由②③可得：

，與①矛盾，

故假設不成立，即不存在三項依次成等差數列.