Question

【題目】如圖（示意），公路AM、AN圍成的是一塊頂角為鈍角α的角形耕地，其中．在該塊土地中處有一小型建筑，經測量，它到公路、的距離、分別為，．現要過點修建一條直線公路，將三條公路圍成的區域建成一個工業園．設，，其中．

（1）試建立間的等量關系；

（2）為盡量減少耕地占用，問如何確定B點的位置,使得該工業園區的面積最小？并求最小面積．

Answer 1

【答案】（1）3x＋2y＝xy；（2）當AB＝10km時，最小面積為30km2

【解析】

（1）過點P作PE⊥AM，PF⊥AN，垂足為E、F，連接PA．設AB＝x，AC＝y．由S△ABC＝S△ABP+S△APC，求得面積的表達式，從而求得x，y的關系.

（2）運用基本不等式可得最小值．

（1）過點P作PE⊥AM，PF⊥AN，垂足為E、F．因為P到AM，AN的距離分別為3，2，

即PE＝3，PF＝2．由S△ABC＝S△ABP＋S△APC＝x3y2＝(3x＋2y)①

所以S△ABC＝xy② ，即3x＋2y＝xy．

（2）因為3x＋2y≥2，所以xy≥2．解得xy≥150．

當且僅當3x＝2y取“＝”，即x＝10，y＝15．

所以S△ABC＝xy有最小值30．

所以：當AB＝10km時，該工業園區的面積最小，最小面積為30km2