Question

【題目】已知橢圓的中心在坐標原點，長軸在x軸上，長軸長是短軸長的2倍，兩焦點分別為和，橢圓上一點到和的距離之和為12.圓的圓心為.

（1）求的面積；

（2）若橢圓上所有點都在一個圓內，則稱圓包圍這個橢圓.問：是否存在實數k使得圓包圍橢圓？請說明理由.

Answer 1

【答案】(1);(2)不存在,理由見詳解

【解析】

(1)根據題意分析可得,的值,進而得到,再求出的坐標,即可得到答案;

(2)分與兩種情況討論,發現橢圓上總有點在圓外,進而可得結論.

(1)設橢圓方程為:,

橢圓上一點到和的距離之和為12,則有,即,

又長軸長是短軸長的2倍,即,則,

所以橢圓方程為:,

所以,,

又,圓心,

所以△的面積;

(2)當時,將橢圓頂點代入圓方程得:,

故橢圓頂點在圓外;

當時,將橢圓頂點代入圓方程得:,

故橢圓頂點在圓外;

所以,不論取何值,圓都不可能包圍橢圓.