Question

已知直線x=3與雙曲線C：

x2

9

-

y2

4

=1的漸近線交于E₁，E₂兩點，記

OE1

=

e1

，

OE2

=

e2

，任取雙曲線上的點P，若

OP

=a

e1

+b

e2

（a，b∈R），則下列關于a，b的表述：
①4ab=1②0＜a²+b²＜

1

2

③a²+b²≥1④a²+b²≥

1

2

⑤ab=1
其中正確的是______．

Answer 1

雙曲線C：

x2

9

-

y2

4

=1的漸近線方程為y=±

2

3

x，
將直線x=3代入y=±

2

3

x，可得E₁（3，2），E₂（3，-2）．
∵

OE1

=

e1

，

OE2

=

e2

，
∴

e1

=（3，2），

e2

=（3，-2），
∴

OP

=a

e1

+b

e2

=（3a+3b，2a-2b），
∴P（3a+3b，2a-2b），
∵P是雙曲線C：

x2

9

-

y2

4

=1的點，
∴

(3a+3b)2

9

-

(2a-2b)2

4

=1，
∴（a+b）²-（a-b）²=1，
∴4ab=1，∴①正確；
∵a²+b²≥2ab=

1

2

，∴④正確；
故答案為：①④．