Question

【題目】（本小題滿分12分）設函數.

（Ⅰ）討論函數的單調性；

（Ⅱ）如果對所有的≥0，都有≤，求的最小值；

（Ⅲ）已知數列中， ，且，若數列的前n項和為，求證：

.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）函數在上單調遞減，在單調遞增；（Ⅱ）；（Ⅲ）證明見解析．

【解析】試題（Ⅰ）先對函數求導，再對的取值范圍進行討論，即可得的單調性；（Ⅱ）設，先對函數求導，再對的取值范圍進行討論函數的單調性，進而可得的最小值；（Ⅲ）先由已知條件求出數列的通項公式和前項和，再把轉化為，由（Ⅱ）可得， ，令，可得，進而可證，即可證．

試題解析：（Ⅰ） 的定義域為， 1分

當時， ，當時， 2分

所以函數在上單調遞減，在單調遞增. 3分

（Ⅱ）設，則

因為≥0，故5分

（ⅰ）當時， ， ，所以在單調遞減，而，所以對所有的≥0， ≤0，即≤；

（ⅱ）當時， ，若，則， 單調遞增，而，所以當時， ，即；

（ⅲ）當時， ， ，所以在單調遞增，而，所以對所有的， ，即；

綜上， 的最小值為2. 8分

（Ⅲ）由得， ，由得， ，

所以，數列是以為首項，1為公差的等差數列，

故， ， 9分

由（Ⅱ）知時， ， ，

即， . 10分

法一：令，得，

即

因為11分

所以12分

故12分

法二：

下面用數學歸納法證明．

（1）當時，令代入，即得，不等式成立

（2）假設時，不等式成立，即

則時，

令代入，得

即

由（1）（2）可知不等式對任何 都成立.

故12分