Question

已知等比數(shù)列滿足．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）在與之間插入個數(shù)連同與按原順序組成一個公差為（）的等差數(shù)列．
①設(shè)，求數(shù)列的前和；
②在數(shù)列中是否存在三項(xiàng)（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的三項(xiàng)；若不存在，說明理由．

Answer 1

 （1）；（2）①②不存在.

解析試題分析：（1）要看清問題的實(shí)質(zhì)就是，那么這就是我們熟悉的問題，利用，轉(zhuǎn)化為和公比的式子，可解出，再由題目條件得出關(guān)于首項(xiàng)的關(guān)系式，求出等比數(shù)列的首項(xiàng)即可求出通項(xiàng)公式；（2）①由新數(shù)列的的首首項(xiàng)和末項(xiàng)及項(xiàng)數(shù)可求出公差，根據(jù)其表達(dá)式的結(jié)構(gòu)特征，再考慮求，本題可用錯位相減法；②此類問題，一般先假設(shè)存在符合條件的數(shù)列，解出來則存在，如果得到矛盾的結(jié)果，則假設(shè)錯誤，這樣的數(shù)列則不存在.
試題解析：（1）設(shè)數(shù)列的公比為，由已知可得，                1分
由已知，，所以，
兩式相減得，，解得，                       3分
又，解得，                                    5分
故                                                      6分
（2）由（1），知   7分
①，        8分
，
    10分
故                                                 11分
②假設(shè)在數(shù)列中存在三項(xiàng)（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列，
則，即．                         13分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/7a/7/yhvcl1.png" style="vertical-align:middle;" />成等差數(shù)列，所以，（*）代入上式得： ，（**）
由（*），（**），得，這與題設(shè)矛盾．                              15分
所以，在數(shù)列中不存在三項(xiàng)（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列．  16分
考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列、錯位相減法.