Question

已知離心率為的橢圓C的中心在坐標原點O，一焦點坐標為（1，0），圓O的方程為x²+y²=7．
（1）求橢圓C的方程，并證明橢圓C在圓O內；
（2）過橢圓C上的動點P作互相垂直的兩條直線l₁，l₂，l₁與圓O相交于點A，C，l₂與圓O相交于點B，D（如圖），求四邊形ABCD的面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可設橢圓C的方程為，利用離心率為的橢圓的焦點坐標為（1，0），即可求橢圓C的方程；設P（x，y）是橢圓C上的任意一點，到圓心的距離小于半徑即可知橢圓C在圓O內
（2）設橢圓C上的動點P（x，y）到直線l₁，l₂的距離分別為d₁，d₂．則，，，求出的最小值，即可求得四邊形ABCD的面積的最大值．
解答：解：（1）由題意可設橢圓C的方程為，
則，，解得，故橢圓C的方程為．
證明：設P（x，y）是橢圓C上的任意一點．
則，，故橢圓C在圓O內

（2）如圖，設橢圓C上的動點P（x，y）到直線l₁，l₂的距離分別為d₁，d₂．
則，，
由l₁⊥l₂，得．
則t∈[3，4]，四邊形ABCD的面積
當且僅當，t=3時，上式取等號，此時，
即點P（x，y）為．直線l₁，l₂的斜率分別為1，-1或-1，1．
所以四邊形ABCD的面積的最大值為11．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查圓與橢圓的位置關系，考查圓內接四邊形的面積，解題的關鍵是利用基本不等式求解面積的最值，屬于中檔題．