Question

已知離心率為的橢圓C：（a＞b＞0）與過點A（5，0），B（0，）的直線有且只有一個公共點M．
（1）求橢圓C的方程及點M的坐標；
（2）是否存在過點M的直線l，依次交橢圓C、x軸、y軸于點N（異于點M）、P、Q，且滿足，若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據橢圓的離心率為，可得a²=2b²，求出過點A（5，0），B（0，）的直線方程，與橢圓方程聯立，利用過點A（5，0），B（0，）的直線與橢圓有且只有一個公共點M，即可求得橢圓C的方程及M的坐標；
（2）假設存在直線l，滿足題意，根據直線l依次交橢圓C、x軸、y軸于點N（異于點M）、P、Q，且滿足，可得M，N是線段PQ的三等份點，求出N的坐標代入橢圓方程，即可得到結論．
解答：解：（1）∵橢圓的離心率為
∴
∴
∴a²=2b²
∴橢圓C：可化為：x²+2y²=2b²①
過點A（5，0），B（0，）的直線方程為②
①②聯立，消去x可得：10③
∵過點A（5，0），B（0，）的直線與橢圓有且只有一個公共點M
∴△=800-40（25-2b²）=0
∴，∴a²=5
∴橢圓C的方程為
時，方程③的根為y=，代入②可得x=1，∴M（1，）
（2）假設存在直線l，滿足題意．
∵直線l依次交橢圓C、x軸、y軸于點N（異于點M）、P、Q，且滿足，
∴M，N是線段PQ的三等分點
∵M（1，），∴根據三角形的中位線的性質，可得N（2，）
代入橢圓方程，顯然成立
∴存在直線l，滿足題意，此時直線的方程為：
即x+-3=0
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查存在性問題，將直線l依次交橢圓C、x軸、y軸于點N（異于點M）、P、Q，且滿足，轉化為M，N是線段PQ的三等份點是解題的關鍵．