Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，，Sn＝n2an－n(n－1)，n＝1，2，…

(1)證明：數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列，并求Sn；

(2)設(shè)，求證 ：b1＋b2＋…＋bn＜1．

Answer 1

【答案】(1)． (2) 見(jiàn)解析．

【解析】試題分析：(1)在已知遞推式式中，利用，化簡(jiǎn)可得，故而可證得結(jié)論；(2)利用裂項(xiàng)相消法求其前項(xiàng)和即可.

試題解析：(1)由Sn＝n2an－n(n－1)知，

當(dāng)n≥2時(shí)Sn＝n2(Sn－Sn－1)－n(n－1)，

即(n2－1)Sn－n2Sn－1＝n(n－1)，∴Sn－Sn－1＝1，對(duì)n≥2成立．

又S1＝1，∴{Sn}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．

Sn＝1＋(n－1)·1 ，∴Sn＝．

(2)bn＝＝＝－．

∴b1＋b2＋……＋bn＝1－＋－＋…－＝1－＜1．