Question

若正實數a，b滿足2a+b=1，則

1

a

+

1

2b

的最小值為

9

2

．

Answer 1

分析：把

1

a

+

1

2b

看作（

1

a

+

1

2b

）•1，然后把1換為2a+b，展開后利用基本不等式求最值．

解答：解：

1

a

+

1

2b

=（

1

a

+

1

2b

）（2a+b）=2+

1

2

+

b

a

+

a

b

=

5

2

+

b

a

+

a

b

．
∵a，b是正實數，∴

5

2

+

b

a

+

a

b

≥

5

2

+2

b a • a b

=

9

2

．
即

1

a

+

1

2b

的最小值為

9

2

．
當且僅當

b a = a b 2a+b=1

，即a=b=

1

3

時“=”成立．
故答案為：

9

2

．

點評：本題考查了利用基本不等式求最值，關鍵是對“1”的代換，利用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”，是基礎題．