Question

【題目】已知點在橢圓上，過點作軸于點

（1）求線段的中點的軌跡的方程

（2）設、兩點在（1）中軌跡上，點，兩直線與的斜率之積為，且（1）中軌跡上存在點滿足，當面積最小時，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）設線段的中點為，得出點的坐標為，然后代入橢圓方程并化簡后得出所求軌跡方程；

（2）設直線的方程為，設點、，將直線的方程與橢圓聯立，消去，并列出韋達定理，利用直線和的斜率之積得出，可得出，由知，于是得出直線的方程為，將該直線與橢圓方程聯立并結合兩點間的距離公式得出，最后利用三角形的面積公式以及基本不等式求出面積的最小值，利用基本不等式等號成立的條件求出的值，即可求出直線的方程。

（1）設線段的中點為，則，，

即；

（2）設直線，，，，，

聯立，得．

，．

，

得到．

則為，解得，同理．

，

．

當，即時，有最小值為．

此時直線的方程為．