Question

【題目】已知直線過橢圓的右焦點，拋物線的焦點為橢圓的上頂點，且交橢圓于兩點，點在直線上的射影依次為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線交軸于點，且，當變化時，證明： 為定值；

（3）當變化時，直線與是否相交于定點？若是，請求出定點的坐標，并給予證明；否則，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）.

【解析】試題分析：（1）由題設條件求出橢圓的右焦點與上頂點坐標，即可得出、的值，再求出的值即可求得橢圓的方程；（2）設，聯立直線與橢圓的方程，結合韋達定理得出與，再根據及，從而可表示出，化簡即可得證；（3））當時，易得與相交于點，可猜想： 變化時， 與相交于點，再證明猜想成立即可.

試題解析：（1）∵過橢圓的右焦點，

∴右焦點，即，

又∵的焦點為橢圓的上頂點，

∴，即，

∴橢圓的方程；

（2）由得， ，

設，則，

∵，

∴，

∴，

∴，

綜上所述，當變化時， 的值為定值；

（3）當時，直線軸，則為矩形，易知與是相交于點，猜想與相交于點，證明如下：

∵，

∵，

∴，即三點共線.

同理可得三點共線，

則猜想成立，即當變化時， 與相交于定點.