Question

已知函數f（x）=x²-ax+a（a∈R）同時滿足：①不等式f（x）≤0 的解集有且只有一個元素；②在定義域內存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．設數列{a_n}的前n項和為S_n=f（n）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設各項均不為零的數列{c_n}中，所有滿足c_i-c_i+1＜0的正整數i的個數稱為這個數列{c_n}的變號數，令c_n=1-

a

an

（n為正整數），求數列{c_n}的變號數．

Answer 1

分析：（1）根據f（x）≤0的解集有且只有一個元素，可得△等于0，從而可求a的值，即可求出函數解析式，從而可求數列{a_n}的通項公式；
（2））根據c_n=1-

a

an

，可得cn=

-3，n=1 1- 4 2n-5 ，n≥2

，驗證n≥3時，數列{c_n}遞增，確定n≥3時，有且只有1個變號數；判斷n≤2時變號數有2個，最后綜合答案可得．

解答：解：（1）∵f（x）≤0的解集有且只有一個元素，
∴△=a²-4a=0
∴a=0或4，
當a=0時，函數f（x）=x²在（0，+∞）上遞增，故不存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立；
當a=4時，函數f（x）=x²-4x+4在（0，2）上遞減，故存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．
綜上，得a=4，f（x）=x²-4x+4，∴S_n=n²-4n+4
n≥2 時，a_n=S_n-S_n-1=2n-5，n=1 時，a₁=1
∴a_n=

1，n=1 2n-5，n≥2

（2）∵c_n=1-

a

an

，
∴cn=

-3，n=1 1- 4 2n-5 ，n≥2

∵n≥3時，C_n+1-C_n=

4

2n-5

-

4

2n-3

=

8

(2n-5)(2n-3)

＞0，
∴n≥3時，數列{c_n}遞增，
∵a₄=-

1

3

＜0，由1-

4

2n-5

＞0
n≥5，可知a₄-a₅＜0，即n≥3時，有且只有1個變號數；
又∵C₁=-3，C₂=-5，C₃=-3，即C₁-C₂＜0，C₂-C₃＜0，
∴此處變號數有2個．
綜上得數列共有3個變號數，即變號數為3．

點評：本題考查數列與函數的綜合，考查數列的通項，考查新定義，解題的關鍵是理解新定義，判斷數列的單調性，從而確定數列的變號數．