Question

【題目】已知二次函數，且.

（1）定義：對于函數，若存在，使，則稱是的一個不動點；

（i）當，時，求函數的不動點；

（ii）對任意實數b，函數恒有兩個相異的不動點，求a的取值范圍；

（2）求的圖像在x軸上截得的線段長的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（i），或.（ii）或者（2）

【解析】

(1)（i）要使得，直接計算出的值即可；

（ii）理解題意，轉化為方程有兩個不等實數根，根據即可求出的取值范圍；

(2) 求圖像在x軸上截得的線段長，即求，利用韋達定理，即可求出取值范圍.

1．（i）依題意得，，，

要使，則，

解得，或.

（ii）根據不動點定義，有，

即：，

對任意實數，函數恒有兩個相異的不動點,

所以恒成立，

即：對于任意實數b，都有 恒成立，

所以 ，解得或.

（2）因為，則，.

所以，

又因為，所以.

設，則，

則，令

對稱軸為：，所以，

所以，得出.

則的圖像在軸上截得的線段長的取值范圍是.