Question

在平面直角坐標系xOy中，點A（0，3），直線l：y=2x-4，設圓C的半徑為1，圓心C在直線l上．
（1）若圓心C也在直線y=x-1上，過點A作圓C的切線，求切線的方程；
（2）當圓心C在直線l上移動時，求點A到圓C上的點的最短距離．

Answer 1

（1）由

y=2x-4 y=x-1

得圓心C為（3，2），
∵圓C的半徑為1，
∴圓C的方程為：（x-3）²+（y-2）²=1
顯然切線的斜率一定存在，
設所求圓C的切線方程為y=kx+3，即kx-y+3=0
∴

|3k-2+3|

k2+1

=1，
∴|3k+1|=

k2+1

，
∴2k（4k+3）=0，
∴k=0或者k=-

3

4

∴所求圓C的切線方程為：y=3或者y=-

3

4

x+3…（6分）
（2）當圓心C在直線l上移動時，點A到圓心C的最短距離為

7 5

5

，
則點A到圓C上的點的最短距離為

7 5

5

-1…（12分）