Question

【題目】已知函數，下列說法正確的是__________.的值域是；當時，方程有兩個不等實根；若函數有三個零點時，則；經過有三條直線與相切.

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

①：結合導數，用函數的單調性和奇偶性，求得的值域；②利用導數，證得方程有兩個不等實根；③根據為偶函數，故可先考慮的情況，再由對稱性得到的情況.當時，首先確定是函數的零點，令，分離常數，利用導數求得的取值范圍.再根據對稱性，求得的取值范圍.④利用導數，求得過的切線的條數.

①函數的定義域為，且，所以為偶函數，圖像關于軸對稱.當時，，，.令解得，所以在上遞減，在上遞增，，所以，所以在上單調遞增，從而.由于為偶函數，所以在上單調遞減，且.所以的值域是.故①正確.

②顯然，是方程的根.方程可化為.當時，即.根據①的分析，結合圖像可知，當時與的圖像沒有公共點.故只需考慮的情況.由得，即.構造函數，，，令，解得.所以在上遞減，在上遞增，且，所以存在，使得.故在上遞減，在上遞增.，所以存在，使.綜上所述，當時，方程有兩個不等實根成立，故②正確.

③為偶函數，故可先考慮的情況.當時，函數為，故方程有三個不相等的實數根.首先是方程的根.

先證：令，，，令解得.所以在上遞減，在上遞增.，當，.若，即，則在區間上先減后增，在區間上至多只有兩個零點，不符合題意.故.

故下證：當時，由得有兩個不同的實數根.構造函數，.令，，,所以在上單調遞增，所以當時，.所以由可知在上遞減，在上遞增，所以在處取得極小值也即是最小值，所以.

綜上所述，的取值范圍是.由于為偶函數，根據函數圖像的對稱性可知的取值范圍是.故③正確.

④當時，設經過點的切線的切點為，，，故切線方程為，將代入上式得，化簡得.令，，,所以在上單調遞增.所以方程解得或.所以當時，有兩條切線.根據為偶函數，所以當時，也有兩條切線方程. 所以經過有四條直線與相切，④錯誤.

特別的，當時，，，即當時，在處的切線的斜率為.當時，，即當時，在處的切線的斜率為.

故答案為：①②③