Question

設數列｛an｝的前n項和為Sn，已知a1＝1，a2＝6，a3＝11，且(5n－8)Sn+1－(5n＋2)Sn＝An＋B(其中A、B為常數，n＝l，2，3，…)． (1) 求A與B的值 (2) 證明：數列｛an｝為等差數列 (3) 證明：不等式－＞1對任何正整數m、n都成立．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解析：(1)由已知．得S1＝a1＝1，S2＝a1＋a2＝7，S3＝a1＋a2＋a3＝18． 　　由(5n－8)Sn+1－(5n＋2)Sn＝An＋B知即 　　解得A＝－20，B＝－8．
(2)	方法一　由(1)得，(5n－8)Sn+1－(5n＋2)Sn＝－20n－8　①．所以(5n－3)Sn+2－(5n＋7)Sn+l＝－20n－28②． 　　②－①．得(5n－3)Sn+2－(10n－1)Sn+1＋(5n＋2)Sn＝－20　③．所以(5n＋2)Sn+3－(10n＋9)Sn+2＋(5n＋7)Sn+1＝－20④． 　　④－③，得(5n＋2)Sn+3－(15n＋6)Sn+2＋(15n＋6)Sn+1－(5n＋2)Sn＝0． 　　因為an+1＝Sn+l－Sn，所以(5n＋2)an+3－(10n＋4)an+2＋(5n＋2)an+1＝0． 　　又因為5n＋2≠0，所以an+3－2an+2＋an+1＝0， 　　即an+3－an+2＝an+2－an+1，n≥1． 　　又a3－a2＝a2－a1＝5， 　　所以數列｛an｝為等差數列． 　　方法二　由已知．S1＝a1＝1， 　　又(5n－8)Sn+l－(5n＋2)Sn＝－20n－8，且5n－8≠0。 　　所以數列｛Sn｝是惟一確定的，因而數列｛an｝是惟一確定的． 　　設bn＝5n－4，則數列｛bn｝為等差數列，前n項和Tn＝， 　　于是(5n－8)Tn+1－(5n＋2)Tn＝(5n－8)－(5n＋2)＝－20n－8， 　　由惟一性得bn＝an，即數列｛an｝為等差數列．
(3)	由(2)可知，an＝1＋5(n－1)＝5n－4． 　　要證－＞1，只要證5amn＞l＋aman＋2． 　　因為amn＝5mn－4，aman＝(5m－4)(5n－4)＝25mn－20(m＋n)＋16， 　　故只要證5(5mn－4)＞1＋25mn－20(m＋n)＋16＋2，即只要證20m＋20n－37＞2． 　　因為2≤am＋an＝5m＋5n－8＜5m＋5n－8＋(15m＋15n－29)＝20m＋20n－37，所以命題得證． 　　點評：此高考題是一道數列與不等式的綜合題，(1)、(2)兩小題考生容易入手，第(3)小題采用了基本不等式、分析法、放縮法等證明技巧．