Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=1，S_n=na_n-2n（n-1）．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄，并求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{{

1

an•an+1

}}的前n項和為T_n，試求T_n的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)a_n+1=S_n+1-S_n=，把S_n=na_n-2n（n-1）代入得a_n+1-a_n=4．判斷出數(shù)列{a_n}是以1為首項，4為公差的等差數(shù)列，進而求得數(shù)列的通項公式．
（2）把（1）中求得a_n代入Tn，用裂項法求和，判斷出T_n＜

1

4

，根據(jù)T_n-T_n-1＞0判斷T_n單調(diào)遞增，進而判斷出T_n≥T₁，進而求得T_n得取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由S_n=na_n-2n（n-1）
得a_n+1=S_n+1-S_n=（n+1）a_n+1-na_n-4n
∴a_n+1-a_n=4．
所以，數(shù)列{a_n}是以1為首項，4為公差的等差數(shù)列．
∴a_n=4n-3a₂=5，a₃=9，a₄=13
（Ⅱ）∵Tn=

1

a1a2

+

1

a2a3

++

1

anan+1

=

1

1×5

+

1

5×9

+

1

9×13

+…+

1

(4n-3)(4n+1)

=

1

4

[1-

1

5

+

1

5

-

1

9

+

1

9

-

1

13

+…+

1

4n+3

-

1

4n+1

]=

1

4

(1-

1

4n+1

)＜

1

4

又，易知T_n單調(diào)遞增，故Tn≥T1=

1

5

∴

1

5

≤Tn＜

1

4

，即T_n得取值范圍是[

1

5

，

1

4

).

點評：本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式．考查了學(xué)生對等差數(shù)列基礎(chǔ)知識的理解和運用．