Question

在正三棱錐（頂點在底面的射影是底面正三角形的中心）中，,過作與分別交于和的截面，則截面的周長的最小值是 (    )

A．9

B．10

C．11

D．12

Answer 1

C

分析：利用正三棱錐P-ABC的側(cè)面展開圖，即可將求△ADE的周長的最小值問題轉(zhuǎn)化為求展開圖中線段的長的問題，進(jìn)而在三角形中利用解三角形的知識計算即可
解答：解：此正三棱錐的側(cè)面展開圖如圖：則△ADE的周長為AD+DE+EA′，由于兩點之間線段最短，

∴當(dāng)D、E處于如圖位置時，截面△ADE的周長最小，即為AA′的長
設(shè)∠APB=α，過P作PO⊥AA′，則O為AA′中點，∠APO=，
在等腰三角形PAB中，sin==，cos=
∴cosα=1-2sin²=，sinα=2sin?cos=
∴sin=sin（α+）=sinαcos+cosαsin=×+×=
∴AA′=2AO=2AP×sin=16×=11
故選C