Question

已知a，b，c分別為△ABC三個內角A，B，C的對邊，a=2，且（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，則△ABC面積的最大值為

 

．

Answer 1

考點：正弦定理

專題：解三角形

分析：由條件利用正弦定理可得b²+c²-bc=4．再由余弦定理可得A=

π

3

，利用基本不等式可得bc≤4，當且僅當b=c=2時，取等號，此時，△ABC為等邊三角形，從而求得它的面積

1

2

bc•sinA 的值．

解答： 解：△ABC中，∵a=2，且（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，
∴利用正弦定理可得（2+b）（a-b）=（c-b）c，即 b²+c²-bc=4，即b²+c²-4=bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

bc

2bc

=

1

2

，∴A=

π

3

．
再由b²+c²-bc=4，利用基本不等式可得 4≥2bc-bc=bc，
∴bc≤4，當且僅當b=c=2時，取等號，
此時，△ABC為等邊三角形，它的面積為

1

2

bc•sinA=

1

2

×2×2×

3

2

=

3

，
故答案為：

3

．

點評：本題主要考查正弦定理的應用，基本不等式，屬于中檔題．