Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx，且x₀，x₁，x₂∈（0，+∞），下列命題：
①若x₁＜x₂，則

1

x2

＞

f(x1)- f(x2)

x1-x2

②存在x₀∈（x₁，x₂），（x₁＜x₂），使得

1

x0

=

f(x1)- f(x2)

x1-x2

③若x₁＞1，x₂＞1，則

f(x1)- f(x2)

x1-x2

＜1
④對任意的x₁，x₂，都有f（

x1+x2

2

）＞

f(x1) +f(x2)

2

其中正確的命題是（　　）

• A、①②
• B、②③
• C、③④
• D、②③④

Answer 1

分析：根據(jù)導數(shù)的幾何意義可知f'（x₁）=

1

x1

表示在x₁處的切線的斜率，

f(x1) -f(x2)

x1-x2

表示x₁與x₂兩點的斜率，結(jié)合圖象進行求解即可．

解答：解：f'（x）=

1

x

f'（x₁）=

1

x1

表示在x₁處的切線的斜率．

f(x1) -f(x2)

x1-x2

表示x₁與x₂兩點的斜率．
①若x₁＜x₂，由圖象考查直線的斜率不滿足

1

x2

＞

f(x1)- f(x2)

x1-x2

，故不正確；
②存在x₀∈（x₁，x₂），（x₁＜x₂），圖中藍色的切線就是直線在x₀處的切線，能夠使得

1

x0

=

f(x1)- f(x2)

x1-x2

，正確．
③若x₁＞1，x₂＞1，

1

x

＜1，所以

f(x1)- f(x2)

x1-x2

＜1正確．
④對任意的x₁，x₂，

f(x1) -f(x2)

x1-x2

表示x₁與x₂兩點的斜率．都有f（

x1+x2

2

）＞

f(x1) +f(x2)

2

．正確．
結(jié)合圖象可知選項②③④正確；
故選D

點評：本題主要考查了導數(shù)的幾何意義以及函數(shù)的圖象等有關(guān)知識，屬于基礎(chǔ)題．