Question

【題目】（Ⅰ）已知 是空間的兩個(gè)單位向量，它們的夾角為60°，設(shè)向量 ， ．求向量 與 的夾角； （Ⅱ）已知 是兩個(gè)不共線的向量， ．求證： 共面．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵ 是兩個(gè)單位向量，所以| |=| |=1，由于其夾角為60° 所以向量 =cos60°=
∴ =（2 ） =﹣6 + =
| |= = =
同理| |= ，
所以cos＜ ＞= = =-
所以?shī)A角120°
（Ⅱ） 證明：因?yàn)橄蛄? 是兩個(gè)不共線的向量
設(shè) =x（ ）+y（ ）=（x+3y） +（x﹣2y） =2 +3
所以 ，
這表明存在實(shí)數(shù) ， ，使
根據(jù)共面向量定理知：向量 共面
【解析】（Ⅰ）利用向量的夾角公式cos＜ ＞= 可求夾角余弦，進(jìn)而可求夾角（Ⅱ）要證明 共面，只要證明存在實(shí)數(shù)x，y，使得 即可
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了平面向量的基本定理及其意義和數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握如果、是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使；設(shè)、都是非零向量，，，是與的夾角，則才能正確解答此題．