Question

若a是從1，2，3三個數中任取的一個數，b是從2，3，4，5四個數中任取的一個數，
（1）有序數對（a，b）共有多少個？將結果列舉出來．
（2）求

a

≤

b

-1成立的概率．
（3）設函數f(x)=

x2+(a+1)x+a

x

(x＞0)，求f（x）＞b恒成立的概率．

Answer 1

分析：（1）利用分步乘法原理和列舉法即可得出；
（2）驗證條件“

a

≤

b

-1”即可找出；
（3）利用基本不等式可得：f(x)＞b恒成立就轉化為(

a

+1)2＞b成立．經驗證即可得出要求事件包括的基本事件，再利用古典概型的概率計算公式即可得出．

解答：解：（1）基本事件總數=

C

1 3

×

C

1 4

=12個，即
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5）；（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）；
（2）設事件A為“

a

≤

b

-1”，事件A包含事件：（1，4），（1，5）．
由古典概型得P=

2

12

=

1

6

．
（3）設事件B：“f（x）＞b恒成立”，則x＞1，a＞0，
f(x)=

x2+(a+1)x+a

x

(x＞0)=x+

a

x

+a+1≥2

a

+a+1=(

a+1

)2，
∴f(x)min=(

a

+1)2，
于是f(x)＞b恒成立就轉化為(

a

+1)2＞b成立．
則事件B包含事件：（1，2），（1，3）；（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）共10個．
由古典概型得P(B)=

10

12

=

5

6

．

點評：熟練掌握分步乘法原理、列舉法、古典概型的概率計算公式及利用基本不等式把問題正確等價轉化是解題的關鍵．