Question

已知函數f（x）=

(2a-1)x+3a-4，x≤t x3-x，x＞t

，無論t取何值，函數f（x）在區間（-∞，+∞）總是不單調．則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：首先分析f（x）=x³-x，其單調區間．然后根據無論t取何值，函數f（x）在區間（-∞，+∞）總是不單調，判斷f（x）=（2a-1）x+3a-4的單調性，求出a的取值范圍即可．

解答：解：對于函數f（x）=x³-x，
f'（x）=3x²-1  x＞t
當3x²-1＞0時，即x＞

3

3

或x＜-

3

3

此時f（x）=x³-x，為增函數
當3x²-1＜0時，-

3

3

＜x＜

3

3

∵x＞t，
∴f（x）=x³-x，一定存在單調遞增區間
要使無論t取何值，
函數f（x）在區間（-∞，+∞）總是不單調
∴f（x）=（2a-1）x+3a-4不能為增函數
∴2a-1≤0
∴a≤

1

2

故答案為：a≤

1

2

．

點評：本題考查函數單調性的判定與應用，3次函數與1次函數的單調性的判斷，屬于中檔題．