Question

已知實數a≠0，函數f(x)=a(x-2)2+2lnx，g(x)=f(x)-4a+

1

4a

．
（1）當a=1時，討論函數f（x）的單調性；
（2）若f（x）在區間[1，4]上是增函數，求實數a的取值范圍；
（3）若當x∈[2，+∞）時，函數g（x）圖象上的點均在不等式

x≥2 y≥x

，所表示的平面區域內，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）a=1時，求f（x）的導數f′（x），利用導數判定函數f（x）的單調性；
（2）求f（x）的導數f′（x），使f′（x）≥0在[1，4]上恒成立，從而求出a的取值范圍；
（3）由題意使g（x）≥x在[2，+∞）上恒成立，設h（x）=g（x）-x，則h（x）_min≥0在[2，+∞）上恒成立，求出a的取值范圍．

解答：解：（1）當a=1時，f（x）=x²-4x+4+2lnx（x＞0），
∴f′（x）=2x-4+

2

x

=

2(x-1)2

x

；
∵x＞0，∴f′（x）≥0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數；
（2）∵f（x）=ax²-4ax+4a+2lnx，
∴f′（x）=2ax-4a+

2

x

=

2ax2-4ax+2

x

；
又∵f（x）在[1，4]上是增函數，
∴在[1，4]上f′（x）≥0恒成立，即2ax²-4ax+2≥0在[1，4]上恒成立①；
令g（x）=2ax²-4ax+2，則g（x）=2a（x-1）²-2a+2，
當a＞0時，要使①成立，只需g（1）≥0，即-2a+2≥0，解得a≤1，∴0＜a≤1；
當a＜0時，要使①成立，只需g（4）≥0，即16a+2≥0，解得a≥-

1

8

，∴-

1

8

≤a＜0；
綜上，-

1

8

≤a＜0或0＜a≤1．
（3）由題意，使a（x-2）²+2lnx-4a+

1

4a

≥x在[2，+∞）上恒成立，
令h（x）=a（x-2）²+2lnx-4a+

1

4a

-x，則h（x）_min≥0在[2，+∞）上恒成立②；
∴h′（x）=2ax-4a+

2

x

-1，即h′（x）=

(x-2)(2ax-1)

x

；
（i）當a＜0時，∵x＞2，∴h′（x）≤0，
∴h（x）在[2，+∞）上是減函數，且h（4）=2ln4-4+

1

4a

＜0，
∴②不成立；
（ii）當0＜a＜

1

4

時，2＜

1

2a

，此時h（x）在[2，

1

2a

]上是減函數，在[

1

2a

，+∞）上是增函數，
∴h（x）_min=h（

1

2a

）=a(

1

2a

-2)2+2ln

1

2a

-4a+

1

4a

-

1

2a

=-2-ln2a，
∴只需-2-2ln2a≥0，解得a≤

1

2e

；∴0＜a≤

1

2e

時②成立；
（iii）當a≥

1

4

時，2≥

1

2a

，此時h（x）在[2，+∞）上是增函數，
∴h（x）_min=h（2）=2ln2-4a+

1

4a

-2，
∵-4a+

1

4a

≤0，2ln2-2＜0，∴h（x）_min=h（2）＜0，∴②不成立；
綜上，0＜a≤

1

2e

．

點評：本題考查了利用導數判定函數的單調區間以及根據函數的單調性求不等式恒成立的問題，是較難的題目．