Question

已知實數a≤0，函數f（x）=|x|（x-a）．
（I）討論f（x）在R上的奇偶性；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅲ）求函數f（x）在閉區間[-1，

1

2

]的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用函數的奇偶性的定義進行判斷．
（Ⅱ）利用函數的單調性的定義進行判斷．
（Ⅲ）利用函數的單調性求函數的最值．

解答：解：（Ⅰ）當a=0時，f（x）=x|x|，此時函數f（x）為奇函數．
當a＜0時，f（x）為非奇非偶函數．
（Ⅱ）當a=0時，f（x）=x|x|=

x2，x≥0 -x2，x＜0

，
此時函數f（x）的單調增區間為（-∞，+∞）．
當a＜0時，f（x）=|x|（x-a）=

x(x-a)，x≥0 -x(x-a)，x＜0

，
此時函數f（x）的增區間為（-∞，

a

2

），（0，+∞），函數f（x）的減區間為[

a

2

，0]．
（Ⅲ）①當

a

2

≤-1即a≤-2時，f(-1)=-1-a，f(

1

2

)=

1

4

-

a

2

，
當a≤-

5

2

時，f(-1)≥f(

1

2

)，此時函數f（x）的最大值為f（-1）=-1-a．
當-

5

2

＜a≤-2時，f(-1)＜f(

1

2

)，此時函數f（x）的最大值為f(

1

2

)=

1

4

-

a

2

．
②當-1＜

a

2

≤0即-2＜a≤0，f(

1

2

)=

1

4

-

a

2

，f(

a

2

)=-

a

2

?|

a

2

|=

a2

4

，f(

1

2

)-f(

a

2

)=

1

4

-

a

2

-

a2

4

=-

1

4

(a+1)2+

1

2

＞0，
所以f(

1

2

)＞f(

a

2

)，所以當-2＜a≤0時，函數f（x）的最大值為f(

1

2

)=

1

4

-

a

2

．
綜上，當a≤-

5

2

時，函數的最大值為f（-1）=-1-a．
當-

5

2

＜a≤0時，函數f（x）的最大值為f(

1

2

)=

1

4

-

a

2

．

點評：本題考查了函數奇偶性和單調性的應用，綜合性較強．