Question

已知O為坐標原點，點M（1+cos2x，1），N（1，

3

sin2x+a），且y=

OM

•

ON

，
（1）求y關于x的函數關系式y=f（x）；       
（2）若x∈[0，

π

2

]時，f（x）的最大值為4，求a的值，并說明此時f（x）的圖象可由y=2sin（x，

π

6

）的圖象經過怎樣的變換而得到．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數量積，以及兩角和的正弦函數，化簡函數的表達式，即可求y關于x的函數關系式y=f（x）；       
（2）通過x∈[0，

π

2

]，求出相位的范圍，取得函數的最大值，利用f（x）的最大值為4，即可求a的值，由左加右減上加下減的原則f（x）的圖象可由y=2sin（x，

π

6

）的圖象經過變換而得到．

解答：解：（1）依題意得：

OM

=（1+cos2x，1），

ON

=（1，

3

sin2x+a），
y=

OM

•

ON

=1+cos2x+

3

sin2x+a
=2sin（2x+

π

6

）+a+1，（x∈R，a∈R，a是常數）
（2）若x∈[0，

π

2

]，則 2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，∴-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，
此時y_max=2+1+a=4，∴a=1．
故f（x）=2sin（2x+

π

6

）+2的圖象可由y=2sin（x+

π

6

）的圖象上的點縱坐標不變，橫坐
標縮小為原來的

1

2

倍，得到y=2sin（2x+

π

6

）的圖象；再將y=2sin（2x+

π

6

）的圖象上
的點橫坐標不變，縱坐標向上平移2個單位長度得到．

點評：本題主要考查三角函數的平移．三角函數的平移原則為左加右減上加下減，以及數量積的應用兩角和的正弦函數的應用，考查計算能力．