Question

設直線l：x－y＋m＝0與拋物線C：y²＝4x交于不同兩點A，B，F為拋物線的焦點．
(1)求△ABF的重心G的軌跡方程；
(2)如果m＝－2，求△ABF的外接圓的方程．

Answer 1

(1)y＝(2)²＋²＝

(1)設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，F(1,0)，重心G(x，y)，
⇒y²－4y＋4m＝0，
∴Δ>0⇒m<1且m≠－1(A，B，F不共線)，
故
∴重心G的軌跡方程為y＝.
(2)若m＝－2，則y²－4y－8＝0，設AB中點為(x₀，y₀，)
∴y₀＝＝2，∴x₀＝y₀－m＝2－m＝4，
那么AB的中垂線方程為x＋y－6＝0，
令△ABF的外接圓圓心為C(a,6－a)，
又|AB|＝|y₁－y₂|＝4，C到AB的距離為d＝，∴|CA|＝|CF|⇒(2)²＋²＝(a－1)²＋(6－a)²⇒a＝，
∴C點的坐標為，∴|CF|²＝²＋²＝，
∴所求的圓的方程為²＋²＝.