Question

我們常用構造等式對同一個量算兩次的方法來證明組合恒等式，如由等式可得，左邊的系數為，
而右邊， 的系數為，
由恒成立，可得．
利用上述方法，化簡      ．

Answer 1

試題分析：構造等式（x-1）²ⁿ•（x+1）²ⁿ=（x²-1）²ⁿ，由左式可得x²ⁿ的系數為C_2n²ⁿ•（-1）²ⁿC_2n⁰+C_2n^2n-1•（-1）^2n-1C_2n¹+C_2n^2n-2•（-1）^2n-2C_2n²+…+C_2n⁰•（-1）⁰C_2n²ⁿ，即（C_2n⁰）²-（C_2n¹）²+（C_2n²）²-（C_2n³）²+…+（C_2n²ⁿ）²，由右式可得得x²ⁿ的系數為（-1）ⁿC_2nⁿ，故有（C_2n⁰）²-（C_2n¹）²+（C_2n²）²-（C_2n³）²+…+（C_2n²ⁿ）²=（-1）ⁿC_2nⁿ，
點評：對于此類組合數的應用問題，常常涉及二項式定理的應用，關鍵要根據題意，充分利用組合數的性質．