Question

已知函數f(x)=e^x-x(e為自然對數的底數).

(1)求f(x)的最小值;

(2)設不等式f(x)＞ax的解集為P,且{x|0≤x≤2}P,求實數a的取值范圍;

(3)設n∈N^*,證明.

Answer 1

(1)解：f(x)的導數f′(x)=e^x-1.

令f′(x)＞0，解得x＞0;令f′(x)＜0,解得x＜0.

從而f(x)在(-∞，0)內單調遞減，在(0，+∞)內單調遞增.

所以,當x=0時,f(x)取得最小值1.

(2)解：因為不等式f(x)＞ax的解集為P,且{x|0≤x≤2}P,

所以對于任意x∈［0,2］,不等式f(x)＞ax恒成立.

由f(x)＞ax,得(a+1)x＜e^x.

當x=0時,上述不等式顯然成立,故只需考慮x∈(0,2］的情況.

將(a+1)x＜e^x變形為a＜-1,

令g(x)=-1,則g(x)的導數g′(x)=,

令g′(x)＞0,解得x＞1;令g′(x)＜0，解得x＜1.

從而g(x)在(0，1)內單調遞減，在(1，2)內單調遞增.

所以,當x=1時,g(x)取得最小值e-1,

從而實數a的取值范圍是(-∞,e-1).

(3)證明：由(1)得，對于任意x∈R,都有e^x-x≥1,

即1+x≤e^x.

令x=(n∈N^*,i=1,2…,n-1),則0＜1＜.

∴(1)ⁿ＜()ⁿ=e^-i(i=1,2,…,n-1),

即()ⁿ＜e^-i(i=1,2,…,n-1).

∴=()ⁿ+()ⁿ+…+()ⁿ+()ⁿ＜e^-(n-1)+e^-(n-2)+…+e^-1+1.

∵e^-(n-1)+e^-(n-2)+…+e^-1+1=＜,

∴＜.