Question

選修4-5：不等式選講．
設函數f（x）=2|x-1|+|x+2|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≥4的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）＜|m-2|的解集是非空的集合，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）化簡f（x）的解析式，結合單調性求出不等式 f（x）≥4的解集．
（Ⅱ） 利用f（x）的單調性求出 f（x）≥3，由于不等式f（x）＜|m-2|的解集是非空的集合，得|m-2|＞3，解絕對值不等式求出實數m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=

-3x  (x≤-2) -x+4 ，(-2＜x≤1) 3x ，(x＞1)

，令-x+4=4 或 3x=4，
得x=0，x=

4

3

，所以，不等式 f（x）≥4的解集是{x|x≤0，或x≥

4

3

}．
（Ⅱ）f（x）在（-∞，1]上遞減，[1，+∞）上遞增，所以，f（x）≥f（1）=3，
由于不等式f（x）＜|m-2|的解集是非空的集合，所以，|m-2|＞3，
解之，m＜-1或m＞5，即實數m的取值范圍是：（-∞，-1）∪（5，+∞）．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，絕對值得意義，判斷f（x）的單調性是解題的關鍵．