Question

【題目】已知橢圓C：（a＞b＞0）的焦距為2，且過點.

（1）求橢圓C的方程；

（2）已知△BMN是橢圓C的內接三角形，若坐標原點O為△BMN的重心，求點O到直線MN距離的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由題意焦距的值可得c的值，再由橢圓過點，及a，b，c之間的關系求出a，b的值，進而求出橢圓的方程；

（2）分B的縱坐標為0和不為0兩種情況討論，設B的坐標，由O是三角形的重心可得MN的中點的坐標，設M，N的坐標，代入橢圓方程兩式相減可得直線MN的斜率，求出直線MN的方程，求出O到直線MN的距離的表達式，再由B的縱坐標的范圍求出d的取值范圍，進而求出d的最小值.

解：（1）由題意可得：橢圓的焦距為2，則，又橢圓過點

，解得：a2＝4，b2＝3，

所以橢圓的方程為：1；

（2）設B，記線段MN中點D，

因為O為BMN的重心，所以2，則點D的坐標為：，

若n＝0，則|m|＝2，此時直線MN與x軸垂直，

故原點O到直線MN的距離為，即為1，

若n≠0，此時直線MN的斜率存在，

設M（x1，y1），N（x2，y2），則x1+x2＝﹣m，y1+y2＝﹣n，

又1，1，

兩式相減0，

可得：kMN，

故直線MN的方程為：y（x），即6mx+8ny+3m2+4n2＝0，

則點O到直線MN的距離d，

將1，代入得d，

因為0＜n2≤3，所以dmin，又1，

故原點O到直線MN的距離的最小值為.