Question

（本小題滿分12分）
已知點及圓：.
(1)若直線過點且與圓心的距離為1，求直線的方程；
(2)設過點P的直線與圓交于、兩點，當時，求以線段為直徑的圓的方程；
(3)設直線與圓交于，兩點，是否存在實數，使得過點的直線垂直平分弦？若存在，求出實數的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

：（1）設直線的斜率為（存在），
則方程為.即
又圓C的圓心為，半徑，
由 ， 解得.
所以直線方程為， 即.        ………3分
當的斜率不存在時，的方程為，經驗證也滿足條件.………………4分
（2）由于，而弦心距，
所以.
所以恰為的中點.
故以為直徑的圓的方程為.       …………………8分
（3）把直線．代入圓的方程，
消去，整理得
．
由于直線交圓于兩點，
故，
即，解得．
則實數的取值范圍是．                      ……………10分
（注：其他方法，參照得分）
設符合條件的實數存在，
由于垂直平分弦，故圓心必在上．
所以的斜率，而，
所以．
由于，
故不存在實數，使得過點的直線垂直平分弦．……………12分

略