Question

（本小題滿分12分）已知拋物線的準線方程，與直線在第一象限相交于點，過作的切線，過作的垂線交x軸正半軸于點，過作的平行線交拋物線于第一象限內的點，過作拋物線的切線，過作的垂線交x軸正半軸于點，…，依此類推，在x軸上形成一點列，，，…，，設點的坐標為
（Ⅰ）試探求關于的遞推關系式； （Ⅱ）求證：；
（Ⅲ）求證：．

Answer 1

(Ⅰ)   (Ⅱ) 見解析 （Ⅲ）見解析

（I）由題意知：　　（１分）
由題意知聯立得：，.
   　　　（３分）
切線的斜率為，直線的斜率，
直線的方程為
令，得：    （５分）
（Ⅱ）由已知易得，直線的斜率，
直線的方程為：令得 （７分）
（９分）

當時，即： 
當時， 故（11分）(用數學歸納法證明亦可)
（III）由（II）知：.


.   (12分)