Question

有一圓與直線l：4x－3y＋6＝0相切于點A(3,6)，且經過點B(5,2)，求此圓的方程．

Answer 1

試題分析：本題解法有4種,①由直線與圓相切于點A可設方程,再過點B可求出,即求出圓的方程.②可以設圓的標準方程,由圓心和切點連線與切線垂直且圓過A,B兩點可找到三個關系式求出從而得到圓的方程.③可設所求圓的方程的一般式,寫出圓心坐標,由圓心和切點連線與切線垂直且圓過A,B兩點可找到三個關系式求出從而得到圓的方程.④設出圓心坐標,由幾何意義可以由圓心和切點連線與切線垂直先求出直線CA方程,再由A,B坐標求出直線AB的方程,由AB的垂直平分線與CA相交于點C,再CA的長度即為圓的半徑從而得到圓的方程.
試題解析：
法一：由題意可設所求的方程為，又因為此圓過點，將坐標代入圓的方程求得，所以所求圓的方程為.
法二：設圓的方程為，
則圓心為，由，得
解得
所以所求圓的方程為.
法三：設圓的方程為，由，,在圓上，得
解理
所以所求圓的方程為.
法四：設圓心為C，則，又設AC與圓的另一交點為P，則CA的方程為，
即.
又因為，
所以，所以直線BP的方程為.
解方程組得所以．
所以圓心為AP的中點，半徑為,
所以所求圓的方程為.