Question

已知函數f（x）＝log₂（x＋m），且f（0）、f（2）、f（6）成等差數列．
（1）求實數m的值；
（2）若a、b、c是兩兩不相等的正數，且a、b、c成等比數列，試判斷f（a）＋f(c)與2f(b)的大小關系，并證明你的結論．

Answer 1

（1）m＝2．（2）f（a）＋f(c)＞2(b)．

試題分析：（1）由f（0）、f（2）、f（6）成等差數列，
可得2log₂（2＋m）＝log₂m＋log₂（6＋m），  3分
即（m＋2）²＝m（m＋6），且m＞0，解得m＝2．   5分
（2）由f（x）＝log₂（x＋2），
可得2f(b)＝2log₂（b＋2）＝log₂（b＋2）²，    6分
f（a）＋f(c)＝log₂（a＋2）＋log₂（c＋2）＝log₂［（a＋2）（c＋2）］， 7分
∵a、b、c成等比數列，∴b²＝ac． 8分
又a、b、c是兩兩不相等的正數，
故（a＋2）（c＋2）－（b＋2）²
＝ac＋2（a＋c）＋4－（b²＋4b＋4）   10分
＝2（a＋c－2）＝2＞0，    12分
∴log₂［（a＋2）（c＋2）］＞log₂（b＋2）²． 13分
即f（a）＋f(c)＞2(b)
點評：對于此類問題除了要求學生掌握等差（等比）數列的性質之外，還有靈活運用作差法判斷大小