Question

（本小題滿分12分）設直線l（斜率存在）交拋物線y²＝2px（p＞0，且p是常數）于兩個不同點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），O為坐標原點，且滿足＝x₁x₂＋2（y₁＋y₂）．

   （1）求證：直線l過定點；

   （2）設（1）中的定點為P，若點M在射線PA上，滿足，求點M的軌跡方程．

 

Answer 1

【答案】

（1）略

（2）點M的軌跡方程為

【解析】解：（I）設直線的方程為

由                      …………2分[來源:Z+xx+k.Com]

由題知

且                                         …………3分

又

                                                          …………4分

則

∴直線的方程為

∴直線過定點（0，2）                   …………6分

   （II）分別過A、M、B向y軸作垂線，垂足分別為

設，可得

…………8分

即

…①          …………10分

將①代入

又                            …②

由①②消去k，得

∴點M的軌跡方程為            …………12分