Question

已知橢圓的左、右焦點分別為F₁、F₂，短軸端點分別為A、B，且四邊形F₁AF₂B是邊長為2的正方形
（I）求橢圓的方程；
（II）若C、D分別是橢圓長軸的左、右端點，動點M滿足，連結CM交橢圓于P，證明為定值（O為坐標原點）；
（III）在（II）的條件下，試問在x軸上是否存在異于點C的定點Q，使以線段MP為直徑的圓恒過直線DP、MQ的交點，若存在，求出Q的坐標，若不存在，說明理由

Answer 1

（1）如圖，由題知，……3分
（2）C(-2,0),D(2,0),
則可設…5分

 …………9分
（3）設，由題知成立

使得以MP為直徑的圓恒過DP、MQ的交點 ………………13分