Question

（本小題滿分12分）
設函數(為自然對數的底數)，（）．
（1）證明：；
（2）當時，比較與的大小，并說明理由；
（3）證明：（）．

Answer 1

（1）設，即函數在上單調遞減，在上單調遞增，在處取得唯一極小值。
（2）用數學歸納法證明即可；
（3）證明1：先證對任意正整數，，再證對任意正整數，
．
即要證明對任意正整數，不等式（*）成立，以下可以數學歸納法證明。

                                                        
試題分析：（1）設，所以
當時，，當時，，當時，．
即函數在上單調遞減，在上單調遞增，在處取得唯一極小值，…2分
因為，所以對任意實數均有 ．即，
所以
（2）當時，．用數學歸納法證明如下：
①當時，由（1）知。
②假設當（）時，對任意均有，
令，，
因為對任意的正實數，，
由歸納假設知，．
即在上為增函數，亦即，
因為，所以．從而對任意，有．
即對任意，有．這就是說，當時，對任意，也有．由①、②知，當時，都有．
（3）證明1：先證對任意正整數，．
由（2）知，當時，對任意正整數，都有．令，得．所以．
再證對任意正整數，
．
要證明上式，只需證明對任意正整數，不等式成立．
即要證明對任意正整數，不等式（*）成立
以下分別用數學歸納法和基本不等式法證明不等式（*）：
方法1（數學歸納法）：
①當時，成立，所以不等式（*）成立．
②假設當（）時，不等式（*）成立，即．
則．
因為 
所以．
這說明當時，不等式（*）也成立．由①、②知，對任意正整數，不等式（*）都成立．
綜上可知，對任意正整數，成立 。
點評：本小題主要考查函數、導數、不等式、數學歸納法、二項式定理等知識，考查數形結合、化歸與轉化、分類與討論的數學思想方法，以及運算求解能力．題目較難，對學生的能力要求較高，我們在做題時，能得滿分就得滿分，不能得滿分的盡量多得步驟分。